1. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=4, ВС=2. В каком отношении биссектриса, выходящая из вершины В, делит медиану, выходящую из вершины С?

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 4 и BC = 2. Необходимо определить, в каком отношении биссектриса угла B делит медиану, проведенную из вершины C.

Пусть биссектриса угла B пересекает медиану CE в точке F. По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит сторону, к которой проведена, в отношении, равном отношению двух других сторон треугольника. Следовательно, если BF - биссектриса, то она делит сторону AC в отношении AB:BC, то есть 4:2 или 2:1.

Пусть точка D - середина AC, тогда AD = DC.

CE - медиана, следовательно, AE = EB.

Пусть AC = x, тогда AD = DC = x/2.

Отношение, в котором биссектриса BF делит медиану CE, можно найти, используя теорему Менелая для треугольника ACE и прямой BF:

$$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$$

Так как AE = EB, то AE/EB = 1. И CD = AD, то CD/DA = 1. Тогда

$$\frac{AF}{FC} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Следовательно, биссектриса BF делит медиану CE в отношении 1:2.

Ответ: 1:2