42. В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС, медиана ВМ равна 6. Площадь тре-угольника АВС равна 12/7. Найдите длину стороны АВ.

В треугольнике ABC сторона AB = BC, медиана BM = 6, площадь S = 12/7. Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC. Медиана BM, проведённая к основанию AC равнобедренного треугольника, является также высотой. Значит, треугольник ABM прямоугольный, с прямым углом AMB. $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM$$.

Тогда AC = 2S / BM = 2 * (12/7) / 6 = (24/7) / 6 = 24 / (7 * 6) = 4/7. AM = AC / 2 = (4/7) / 2 = 2/7. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. По теореме Пифагора $$AB^2 = AM^2 + BM^2$$.

Тогда $$AB^2 = (\frac{2}{7})^2 + 6^2 = \frac{4}{49} + 36 = \frac{4 + 36 \cdot 49}{49} = \frac{4 + 1764}{49} = \frac{1768}{49}$$. $$AB = \sqrt{\frac{1768}{49}} = \frac{\sqrt{1768}}{7} = \frac{\sqrt{4 \cdot 442}}{7} = \frac{2\sqrt{442}}{7}$$.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{442}}{7}$$