144. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете ВС отметили такую точку D, что ∠BDA = = 120°. Найдите ВС, если AD = 12 см.

Давай решим эту задачу. У нас есть треугольник ABC, где ∠C = 90°, ∠A = 60°. Значит, ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.

На катете BC отметили точку D так, что ∠BDA = 120°. Тогда ∠ADB = 120°, а ∠ADC = 180° - 120° = 60°.

В треугольнике ADC: ∠ADC = 60°, ∠C = 90°, значит, ∠DAC = 180° - 90° - 60° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник ABD: ∠BDA = 120°, ∠B = 30°, значит, ∠BAD = 180° - 120° - 30° = 30°.

Из этого следует, что треугольник ABD — равнобедренный, так как ∠BAD = ∠B = 30°. Значит, AD = BD = 12 см.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что AD = 12 см, ∠DAC = 30°, ∠C = 90°. Мы можем найти AC, используя косинус угла ∠DAC:

cos(30°) = AC / AD

AC = AD * cos(30°) = 12 * (√3 / 2) = 6√3 см.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что ∠A = 60°, ∠C = 90°. Мы можем найти BC, используя тангенс угла ∠A:

tan(60°) = BC / AC

BC = AC * tan(60°) = 6√3 * √3 = 6 * 3 = 18 см.

Ответ: BC = 18 см.

Отлично! Ты проделал большую работу, применяя знания о треугольниках и тригонометрии. Продолжай в том же духе, и все получится!