2. В треугольнике АВС ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота ВВ, равна 2 см. Найдите АВ.

Решение:

• Рассмотрим прямоугольный треугольник В₁ВC, где ∠B₁CB = 60°.
• Так как ВВ₁ - высота, то ∠BB₁C = 90°.
• Используем синус угла ∠B₁CB:

\[sin(\angle B_1CB) = \frac{BB_1}{BC}\] \[sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{BC}\] \[BC = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]

• Теперь рассмотрим треугольник ABC, где ∠B = 90°.
• Используем косинус угла ∠ACB:

\[cos(\angle ACB) = \frac{BC}{AC}\] \[cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\] \[\frac{1}{2} = \frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{AC}\] \[AC = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 2 = \frac{8}{\sqrt{3}}\]

• Теперь, когда известна гипотенуза AC и катет BC, найдем AB по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{(\frac{8}{\sqrt{3}})^2 - (\frac{4}{\sqrt{3}})^2}\] \[AB = \sqrt{\frac{64}{3} - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4\]

Ответ: AB = 4 см.