267. В треугольниках АВС и А1В1С1 углы А и А₁ — прямые, BD и В₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ∆ А1В1С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АВD и A1B1D1. В них BD = B1D1 (по условию) и \(\angle\) ABD = \(\angle\) A1B1D1 (т.к. BD и B1D1 - биссектрисы, а \(\angle\) B = \(\angle\) B1). Значит, треугольники ABD и A1B1D1 равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов, то есть AB = A1B1. Так как \(\angle\) A = \(\angle\) A1 = 90° и \(\angle\) B = \(\angle\) B1, то \(\angle\) C = \(\angle\) C1 = 180° - 90° - \(\angle\) B. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по стороне и двум прилежащим углам (AB = A1B1, \(\angle\) A = \(\angle\) A1, \(\angle\) B = \(\angle\) B1). Что и требовалось доказать.