4.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектрисы АА1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что прямая ВО перпендикулярна к прямой АС.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. AA1 и CC1 - биссектрисы, пересекающиеся в точке O.

Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании AC равны, то есть ∠BAC = ∠BCA. AA1 и CC1 - биссектрисы, следовательно, ∠BAO = ∠CAO = ∠BCO = ∠ACO.

Треугольник AOC также равнобедренный, так как ∠OAC = ∠OCA. Значит, AO = CO.

Рассмотрим треугольники ABO и CBO. У них:

• AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника ABC).
• AO = CO (доказано выше).
• BO - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABO и CBO равны по трем сторонам. Значит, ∠ABO = ∠CBO. Таким образом, BO - биссектриса угла B.

В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса BO, проведенная из вершины B к основанию AC, также является высотой и медианой. Следовательно, BO перпендикулярна AC.

Ответ: Прямая BO перпендикулярна прямой AC, что и требовалось доказать.