6.В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и СВ взяты соответственно точки М и N так, что ВМ = BN. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке Е. Докажите, что ЕВ - биссектриса угла MEN.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. M и N - точки на сторонах AB и BC соответственно, такие, что BM = BN. Отрезки AN и CM пересекаются в точке E.

В треугольнике ABC, так как AB = BC, то ∠BAC = ∠BCA.

Рассмотрим треугольники ABN и CBM. У них:

• AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника ABC).
• BM = BN (по условию).
• ∠B - общий угол.

Следовательно, треугольники ABN и CBM равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AN = CM и ∠BAN = ∠BCM.

Рассмотрим треугольник ABE и CBE:

Так как AN и CM пересекаются в точке E, то AE = CE.

• BM = BN (по условию).
• BE - общая сторона.
• ∠ABN = ∠CBM (по условию).

Тогда треугольники MEB и NEB равны по двум сторонам и углу между ними, то есть ME = NE.

Треугольник MEN — равнобедренный, а значит, биссектриса угла E является также и медианой и высотой.

Так как EB - биссектриса угла B, то EB также является биссектрисой угла MEN.

Ответ: EB - биссектриса угла MEN, что и требовалось доказать.