240 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС бис- сектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС — равнобедренный.

Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, AO — биссектриса ∠BAC, CO — биссектриса ∠BCA.

Доказать: ΔAOC — равнобедренный.

Доказательство:

Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), то углы при его основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

AO и CO - биссектрисы углов А и С, следовательно, ∠OAC = (1/2)∠BAC и ∠OCA = (1/2)∠BCA.

Поскольку ∠BAC = ∠BCA, то (1/2)∠BAC = (1/2)∠BCA, то есть ∠OAC = ∠OCA.

В треугольнике AOC углы ∠OAC и ∠OCA равны, значит, треугольник AOC - равнобедренный с основанием AC.

Ответ: Треугольник AOC - равнобедренный доказано.