241 Прямая, параллельная основанию равнобедренного треуголь- ника АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.

Дано: ΔABC — равнобедренный (AB = BC), MN || AC, M ∈ AB, N ∈ AC.

Доказать: ΔAMN — равнобедренный.

Доказательство:

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

Поскольку MN || AC, то ∠AMN = ∠BAC (как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB) и ∠ANM = ∠BCA (как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AC).

Так как ∠BAC = ∠BCA, то ∠AMN = ∠ANM.

В треугольнике AMN углы при основании MN равны, значит, треугольник AMN - равнобедренный с основанием MN.

Ответ: Треугольник AMN равнобедренный доказано.