243 Через вершину C треугольника АВС проведена прямая, па- раллельная его биссектрисе АА₁ и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что АC = AD.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, AA₁ – биссектриса угла A, CD || AA₁, D ∈ AB.

1) Рассмотрим углы. Т.к. AA₁- биссектриса угла А, то ∠BAA₁ = ∠CAA₁.

2) ∠CDA = ∠BAA₁ (соответственные углы при параллельных прямых AA₁ и CD и секущей AB).

3) ∠DCA = ∠CAA₁ (накрест лежащие углы при параллельных прямых AA₁ и CD и секущей AC).

Из пунктов 1-3 следует, что ∠CDA = ∠DCA, а это значит, что в треугольнике ADC, AD = AC, как боковые стороны в равнобедренном треугольнике.

Ответ: AC=AD доказано.