245 Через точку пересечения биссектрис ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС проведе- на прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответ- ственно в точках М и N. Докажите, что MN=BM+CN.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, BB₁ и CC₁ - биссектрисы, O - точка их пересечения, MN || BC, M ∈ AB, N ∈ AC.

Доказать: MN = BM + CN.

1) Рассмотрим углы. ∠OBC = ∠OBM (т.к. BB₁ - биссектриса) и ∠MOB = ∠OBC (накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и BC и секущей AB), следовательно, ∠OBM = ∠MOB. Значит, в треугольнике MOB MO = BM, как боковые стороны в равнобедренном треугольнике.

2) ∠OCB = ∠OCN (т.к. CC₁ - биссектриса) и ∠ONC = ∠OCB (накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и BC и секущей AC), следовательно, ∠OCN = ∠ONC. Значит, в треугольнике NOC NO = CN, как боковые стороны в равнобедренном треугольнике.

3) MN = MO + ON.

Из пунктов 1-3 следует, что MN = BM + CN.

Ответ: MN=BM+CN доказано.