246 На рисунке 129 лучи ВО и СО — бис- сектрисы углов В и С треугольника АВС, OE || AB, OD || AC. Докажите, что пери- метр ΔEDO равен длине отрезка ВС.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, BO и CO - биссектрисы углов B и C соответственно, OE || AB, OD || AC.

Доказать: P(ΔEDO) = BC, где P(ΔEDO) - периметр треугольника EDO.

1) Рассмотрим углы. ∠ABO = ∠EBO (т.к. BO - биссектриса) и ∠EOB = ∠ABO (накрест лежащие углы при параллельных прямых OE и AB и секущей BO), следовательно, ∠EBO = ∠EOB. Значит, в треугольнике EBO EO = EB, как боковые стороны в равнобедренном треугольнике.

2) ∠ACO = ∠DCO (т.к. CO - биссектриса) и ∠DOC = ∠ACO (накрест лежащие углы при параллельных прямых OD и AC и секущей OC), следовательно, ∠DCO = ∠DOC. Значит, в треугольнике DCO DO = DC, как боковые стороны в равнобедренном треугольнике.

3) P(ΔEDO) = ED + EO + DO = ED + EB + DC = EB + ED + DC = BC.

Ответ: P(ΔEDO) = BC доказано.