5. В прямоугольнике АВСД со сторонами АВ = 6 см и ВС = 3 см случайным образом выбирается точка К. Найдите вероятность того, что точка К принадлежит кругу с центром в точке А и радиусом 3 см.

Площадь прямоугольника АВСД равна $$AB \cdot BC = 6 \cdot 3 = 18$$ см². Круг с центром в точке А и радиусом 3 см имеет площадь $$\pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$$ см².

Однако, круг находится внутри прямоугольника только частично. Так как радиус круга равен 3 см, и АВ = 6 см, ВС = 3 см, то круг занимает 1/4 своей площади. Площадь круга в прямоугольнике равна $$\frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \cdot 9\pi = \frac{9\pi}{4}$$ см².

Вероятность того, что точка К принадлежит кругу, равна отношению площади круга (находящегося внутри прямоугольника) к площади прямоугольника:

$$P = \frac{\frac{9\pi}{4}}{18} = \frac{9\pi}{4 \cdot 18} = \frac{\pi}{8} \approx \frac{3.14}{8} = 0.3925$$

Ответ: $$\frac{\pi}{8}$$