10. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SA равно 14, сторона основания равна 10√2. Найдите объём пирамиды.

### Решение: 1. Площадь основания пирамиды: $$S = a^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200$$. 2. Найдем диагональ основания: $$d = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 20$$. 3. Найдем половину диагонали: $$r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$$. 4. Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной диагонали основания и боковым ребром: $$h = \sqrt{SA^2 - r^2} = \sqrt{14^2 - 10^2} = \sqrt{196 - 100} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$$. 5. Объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 4\sqrt{6} = \frac{800\sqrt{6}}{3}$$. Ответ: $$\frac{800\sqrt{6}}{3}$$