10. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро ЅА равно 10, сторона основания равна 7√2. Найдите объём пирамиды.

### Решение: 1. Площадь основания пирамиды: $$S = a^2 = (7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$$. 2. Найдем диагональ основания: $$d = a\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 14$$. 3. Найдем половину диагонали: $$r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7$$. 4. Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной диагонали основания и боковым ребром: $$h = \sqrt{SA^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 7^2} = \sqrt{100 - 49} = \sqrt{51}$$. 5. Объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 98 \cdot \sqrt{51} = \frac{98\sqrt{51}}{3}$$. Ответ: $$\frac{98\sqrt{51}}{3}$$