3.В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Определить диагональ этой усеченной пирамиды.

3. Рассмотрим правильную четырехугольную усеченную пирамиду. Пусть $$a$$ - сторона большего основания, $$b$$ - сторона меньшего основания, $$h$$ - высота пирамиды, $$d$$ - диагональ пирамиды.

Дано: $$h = 2 \text{ см}$$, $$a = 5 \text{ см}$$, $$b = 3 \text{ см}$$.

Необходимо найти диагональ усеченной пирамиды.

Диагональ нижнего основания равна $$a \sqrt{2}$$, диагональ верхнего основания равна $$b \sqrt{2}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $$h$$, отрезком, равным половине разности диагоналей оснований, и диагональю боковой грани $$d_\text{бок}$$.

Отрезок, равный половине разности диагоналей оснований равен $$\frac{a \sqrt{2} - b \sqrt{2}}{2} = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2}$$

$$d_\text{бок} = \sqrt{h^2 + (\frac{(a-b)\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{h^2 + \frac{(a-b)^2}{2}}$$.

$$d_\text{бок} = \sqrt{2^2 + \frac{(5-3)^2}{2}} = \sqrt{4 + \frac{4}{2}} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6} \approx 2.45 \text{ см}$$

Ответ: $$\sqrt{6} \approx 2.45 \text{ см}$$