2. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найти высоту пирамиды.

2. Рассмотрим правильную треугольную усеченную пирамиду. Пусть $$a$$ - сторона большего основания, $$b$$ - сторона меньшего основания, $$h$$ - высота пирамиды, $$l$$ - боковое ребро.

Дано: $$a = 4 \text{ дм}$$, $$b = 1 \text{ дм}$$, $$l = 2 \text{ дм}$$.

Необходимо найти высоту пирамиды $$h$$.

Высота правильной треугольной пирамиды, опущенная из вершины на основание, попадает в центр основания. Расстояние от центра правильного треугольника до стороны равно $$ \frac{s\sqrt{3}}{6}$$, где $$s$$ - сторона треугольника.

Разность расстояний от центра большего основания до стороны и от центра меньшего основания до стороны:

$$d = \frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{b\sqrt{3}}{6} = \frac{(a-b)\sqrt{3}}{6}$$

Тогда высота пирамиды:

$$h = \sqrt{l^2 - d^2} = \sqrt{l^2 - (\frac{(a-b)\sqrt{3}}{6})^2} = \sqrt{l^2 - \frac{(a-b)^2}{12}}$$

Подставим значения:

$$h = \sqrt{2^2 - \frac{(4-1)^2}{12}} = \sqrt{4 - \frac{9}{12}} = \sqrt{4 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{16-3}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} \approx 1.8 \text{ дм}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{13}}{2} \approx 1.8 \text{ дм}$$