В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4√2 см, высота пирамиды равна 3 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Дано: Правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания \( a = 4\sqrt{2} \) см, высота \( H = 3 \) см.

Найти: Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

1. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h_a \) — апофема.
2. Периметр основания \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \) см.
3. Найдем апофему \( h_a \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды \( H \), половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \) и апофемой \( h_a \), имеем: \( h_a^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 \). \( \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.
4. \( h_a^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 8 = 17 \) \( h_a = \sqrt{17} \) см.
5. Найдем площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} 16\sqrt{2} \sqrt{17} = 8\sqrt{34} \) см².

Ответ: 8√34 см².