В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4√2 см, боковое ребро равно 5 см. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Дано: Правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания \( a = 4\sqrt{2} \) см, боковое ребро \( l = 5 \) см.

Найти: Объем \( V \).

1. Найдем площадь основания \( S_{осн} \). Так как основание — квадрат, \( S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \) см².
2. Найдем апофему \( h_a \) (высоту боковой грани). В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром, имеем: \( h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2 \). \( \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.
3. \( h_a^2 + (2\sqrt{2})^2 = 5^2 \) \( h_a^2 + 8 = 25 \) \( h_a^2 = 17 \) \( h_a = \sqrt{17} \) см.
4. Найдем высоту пирамиды \( H \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания, имеем: \( H^2 + (\frac{a}{2})^2 = h_a^2 \). \( H^2 + (2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{17})^2 \) \( H^2 + 8 = 17 \) \( H^2 = 9 \) \( H = 3 \) см.
5. Найдем объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 3 = 32 \) см³.

Ответ: 32 см³.