24. В параллелограмме ABCD точки Е, F. КиМ лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причем АЕ=СК, BF=DM. Докажите, что EFKM параллелограмм.

Для доказательства, что EFKM параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны. 1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. По условию AE = CK и BF = DM. 2. Так как ABCD параллелограмм, то AB = CD и BC = AD, а также AB || CD и BC || AD. 3. Поскольку AE = CK, то EB = AB - AE = CD - CK = DK. 4. Аналогично, поскольку BF = DM, то FC = BC - BF = AD - DM = AM. 5. Рассмотрим треугольники EBF и KDM. У них EB = DK, BF = DM и угол B равен углу D (как противоположные углы параллелограмма ABCD). Следовательно, треугольники EBF и KDM равны по двум сторонам и углу между ними. 6. Из равенства треугольников EBF и KDM следует, что EF = KM. 7. Аналогично, рассмотрим треугольники FCK и MAE. У них FC = AM, CK = AE и угол C равен углу A (как противоположные углы параллелограмма ABCD). Следовательно, треугольники FCK и MAE равны по двум сторонам и углу между ними. 8. Из равенства треугольников FCK и MAE следует, что FK = EM. 9. Теперь у четырехугольника EFKM противоположные стороны EF = KM и FK = EM. Это означает, что EFKM — параллелограмм.