На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла ВАС.

Решение:

Пусть \( AB = AC = AD = a \).

Так как AD — биссектриса угла BAC, то \( \angle BAD = \angle CAD = \alpha \). Следовательно, \( \angle BAC = 2\alpha \).

Рассмотрим треугольник ABD. Он равнобедренный, так как \( AB = AD = a \). Следовательно, \( \angle ABD = \angle ADB \).

В треугольнике ABD сумма углов равна 180°:

\[ \angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^{\circ} \]

\[ 2 \angle ADB + \alpha = 180^{\circ} \]

\[ \angle ADB = \frac{180^{\circ} - \alpha}{2} = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \]

Рассмотрим треугольник ACD. Он равнобедренный, так как \( AC = AD = a \). Следовательно, \( \angle ACD = \angle ADC \).

В треугольнике ACD сумма углов равна 180°:

\[ \angle ACD + \angle ADC + \angle CAD = 180^{\circ} \]

\[ 2 \angle ADC + \alpha = 180^{\circ} \]

\[ \angle ADC = \frac{180^{\circ} - \alpha}{2} = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \]

Угол BDC является суммой углов ADB и ADC:

\[ \angle BDC = \angle ADB + \angle ADC \]

По условию, \( \angle BDC = 160^{\circ} \).

\[ 160^{\circ} = \left( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \right) + \left( 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2} \right) \]

\[ 160^{\circ} = 180^{\circ} - \alpha \]

\[ \alpha = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \]

Угол BAC равен \( 2\alpha \):

\[ \angle BAC = 2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ} \]

Ответ: 40°.