2. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD=116°. Найдите угол между диагоналями паралле- лограмма. Ответ дайте в градусах.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=116°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть AB = x, тогда AC = 2x. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно CD = AB = x. Рассмотрим треугольник ACD. В этом треугольнике AC = 2x, CD = x. ∠ACD = 116°.

По теореме косинусов:

AD² = AC² + CD² - 2*AC*CD*cos∠ACD

AD² = (2x)² + x² - 2*2x*x*cos116°

AD² = 4x² + x² - 4x²*(-0,438)

AD² = 5x² + 1,752x²

AD² = 6,752x²

AD = 2,598x

Рассмотрим треугольник ABD: AB = x, AD = 2,598x

BD² = AB² + AD² - 2*AB*AD*cos∠BAD

В параллелограмме противоположные углы равны: ∠BAD = 180° - ∠BCD = 180° - (180°-116°) = 116°

BD² = x² + (2,598x)² - 2*x*2,598x*cos116°

BD² = x² + 6,75x² - 5,196x²*(-0,438)

BD² = 7,75x² + 2,276x²

BD² = 10,026x²

BD = 3,166x

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. AO = AC/2 = x

BO = BD/2 = 1,583x. Рассмотрим треугольник AOB. AB = x. AO = x. BO = 1,583x

По теореме косинусов:

AB² = AO² + BO² - 2*AO*BO*cos∠AOB

x² = x² + (1,583x)² - 2*x*1,583x*cos∠AOB

0 = 2,506x² - 3,166x²*cos∠AOB

cos∠AOB = 2,506/3,166 = 0,792

∠AOB = arccos(0,792) = 37,6° ≈ 38°

Ответ: 38