24 В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что углы АА1В1 и АВВ, равны.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. AA1 и BB1 - высоты, проведенные к сторонам BC и AC соответственно. Требуется доказать, что углы AA1B1 и ABB1 равны.

Рассмотрим четырехугольник A1B1AB. Углы A1 и B1 в этом четырехугольнике прямые, так как AA1 и BB1 - высоты. Следовательно, сумма углов A1 и B1 равна 180 градусам. Значит, около четырехугольника A1B1AB можно описать окружность.

Углы AA1B1 и ABB1 - вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AB1 в окружности, описанной около четырехугольника A1B1AB. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, углы AA1B1 и ABB1 равны.

Ответ: Доказано