21 Два автомобиля одновременно отправляются в 900-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 5 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Пусть v - скорость первого автомобиля (км/ч), тогда скорость второго автомобиля v - 30 (км/ч). Время, за которое первый автомобиль преодолевает 900 км, равно $$t_1 = \frac{900}{v}$$, а время, за которое второй автомобиль преодолевает 900 км, равно $$t_2 = \frac{900}{v-30}$$. Из условия известно, что первый автомобиль прибывает на 5 часов раньше второго, то есть $$t_2 - t_1 = 5$$.

$$\frac{900}{v-30} - \frac{900}{v} = 5$$

Умножим обе части уравнения на $$v(v-30)$$, чтобы избавиться от дробей:

$$900v - 900(v-30) = 5v(v-30)$$ $$900v - 900v + 27000 = 5v^2 - 150v$$ $$5v^2 - 150v - 27000 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 5:

$$v^2 - 30v - 5400 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5400) = 900 + 21600 = 22500$$ $$v_1 = \frac{30 + \sqrt{22500}}{2} = \frac{30 + 150}{2} = \frac{180}{2} = 90$$ $$v_2 = \frac{30 - \sqrt{22500}}{2} = \frac{30 - 150}{2} = \frac{-120}{2} = -60$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость первого автомобиля равна 90 км/ч.

Ответ: 90 км/ч