22 Постройте график функции y=3|x + 2| − x² − 3x − 2. Определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию $$y = 3|x + 2| - x^2 - 3x - 2$$.

Раскроем модуль:

1) Если $$x \ge -2$$, то $$|x + 2| = x + 2$$, и функция принимает вид:

$$y = 3(x + 2) - x^2 - 3x - 2 = 3x + 6 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 + 4$$

2) Если $$x < -2$$, то $$|x + 2| = -(x + 2)$$, и функция принимает вид:

$$y = -3(x + 2) - x^2 - 3x - 2 = -3x - 6 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 - 6x - 8$$

Таким образом, функцию можно записать в виде:

$$y = \begin{cases} -x^2 + 4, & x \ge -2 \\ -x^2 - 6x - 8, & x < -2 \end{cases}$$

Рассмотрим первый случай: $$y = -x^2 + 4$$ при $$x \ge -2$$. Это парабола с вершиной в точке (0, 4), ветви направлены вниз. На промежутке $$x \ge -2$$ парабола убывает.

Рассмотрим второй случай: $$y = -x^2 - 6x - 8$$ при $$x < -2$$. Это парабола с вершиной в точке $$x = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3$$, $$y = -(-3)^2 - 6(-3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$$. Вершина параболы находится в точке (-3, 1). Ветви направлены вниз. На промежутке $$x < -2$$ парабола возрастает до x = -3 и убывает при x > -3.

Теперь определим, при каких значениях m прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки. Это произойдет, когда прямая проходит через вершину одной из парабол и пересекает другую параболу в двух точках. В данном случае, это происходит при $$m = 1$$ и $$m = 4$$.

Ответ: 1; 4