В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁A₁ и CAA₁ равны.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник \( AА₁C₁C \).

По условию \( AA_1 \) и \( CC_1 \) — высоты треугольника \( ABC \), значит:

\[ AA_1 \perp BC \quad (\angle AA_1C = 90^\circ) \]

\[ CC_1 \perp AB \quad (\angle CC_1A = 90^\circ) \]

Рассмотрим четырёхугольник \( AА₁C₁C \). В нём \( \angle AA_1C = 90^\circ \) и \( \angle CC_1A = 90^\circ \).

Сумма этих двух углов равна \( 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна \( 180^\circ \), то этот четырёхугольник является вписанным в окружность.

Следовательно, точки \( A, A_1, C_1, C \) лежат на одной окружности.

В этой окружности углы \( \angle CC_1A_1 \) и \( \angle CAA_1 \) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу \( A_1C_1 \).

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следовательно, \( \angle CC_1A_1 = \angle CAA_1 \).

Доказано.