Решите неравенство (x² + x - 20)(x² - 10x + 24) ≥ 0.

Решение:

Разложим каждый квадратный трёхчлен на множители:

1. Для \( x^2 + x - 20 \): корни уравнения \( x^2 + x - 20 = 0 \) найдём по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1 \), \( x_1 x_2 = -20 \). Корни: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -5 \). Следовательно, \( x^2 + x - 20 = (x - 4)(x + 5) \).
2. Для \( x^2 - 10x + 24 \): корни уравнения \( x^2 - 10x + 24 = 0 \) найдём по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 10 \), \( x_1 x_2 = 24 \). Корни: \( x_1 = 6 \), \( x_2 = 4 \). Следовательно, \( x^2 - 10x + 24 = (x - 6)(x - 4) \).

Теперь исходное неравенство примет вид:

\[ (x - 4)(x + 5)(x - 6)(x - 4) \geq 0 \]

\[ (x + 5)(x - 4)^2 (x - 6) \geq 0 \]

Рассмотрим знаки множителей на интервалах, определяемых корнями \( -5, 4, 6 \). Множитель \( (x - 4)^2 \) всегда неотрицателен. Поэтому знак всего выражения определяется знаком произведения \( (x + 5)(x - 6) \), причём \( x \neq 4 \).

Создадим числовую прямую и отметим корни:

• Интервал \( (-\infty, -5) \): \( (x+5) < 0 \), \( (x-6) < 0 \), \( (x-4)^2 > 0 \). Произведение \( (-)\cdot(-)\cdot(+) = (+) \).
• Интервал \( (-5, 4) \): \( (x+5) > 0 \), \( (x-6) < 0 \), \( (x-4)^2 > 0 \). Произведение \( (+)\cdot(-)\cdot(+) = (-) \).
• Интервал \( (4, 6) \): \( (x+5) > 0 \), \( (x-6) < 0 \), \( (x-4)^2 > 0 \). Произведение \( (+)\cdot(-)\cdot(+) = (-) \).
• Интервал \( (6, \infty) \): \( (x+5) > 0 \), \( (x-6) > 0 \), \( (x-4)^2 > 0 \). Произведение \( (+)\cdot(+)\cdot(+) = (+) \).

Неравенство \( \geq 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -5] \) и \( [6, \infty) \). Также учитываем, что \( x = 4 \) является решением, так как при \( x=4 \) выражение равно 0. Таким образом, \( x=4 \) включается в решение.

Объединяя интервалы и учитывая \( x=4 \), получаем:

\[ x \in (-\infty, -5] \cup \{4\} \cup [6, \infty) \]

Ответ: \( x \in (-\infty, -5] \cup \{4\} \cup [6, \infty) \)