Постройте график функции y = |5|x - 2| - x² + 5x - 6|. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Для построения графика функции \( y = |5|x - 2| - x^2 + 5x - 6| \) сначала рассмотрим функцию под модулем: \( f(x) = 5|x - 2| - x^2 + 5x - 6 \).

Разобьём функцию на два случая в зависимости от знака \( |x - 2| \).

Случай 1: \( x - 2 \geq 0 \), то есть \( x \geq 2 \)

В этом случае \( |x - 2| = x - 2 \).

\[ f(x) = 5(x - 2) - x^2 + 5x - 6 \]

\[ f(x) = 5x - 10 - x^2 + 5x - 6 \]

\[ f(x) = -x^2 + 10x - 16 \]

Это парабола, ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-1)} = 5 \).

При \( x = 5 \), \( f(5) = -(5)^2 + 10(5) - 16 = -25 + 50 - 16 = 9 \). Вершина: (5, 9).

Найдем значения на границе интервала \( x = 2 \): \( f(2) = -(2)^2 + 10(2) - 16 = -4 + 20 - 16 = 0 \). Точка (2, 0).

Случай 2: \( x - 2 < 0 \), то есть \( x < 2 \)

В этом случае \( |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x \).

\[ f(x) = 5(2 - x) - x^2 + 5x - 6 \]

\[ f(x) = 10 - 5x - x^2 + 5x - 6 \]

\[ f(x) = -x^2 + 4 \]

Это также парабола, ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке \( x_v = -\frac{0}{2(-1)} = 0 \).

При \( x = 0 \), \( f(0) = -(0)^2 + 4 = 4 \). Вершина: (0, 4).

Найдем значения на границе интервала \( x = 2 \) (предельное значение): \( f(2) = -(2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0 \). Точка (2, 0).

Теперь учтем внешний модуль \( y = |f(x)| \). Это означает, что часть графика, расположенная ниже оси \( Ox \), будет симметрично отражена вверх.

Рассмотрим функцию \( f(x) = -x^2 + 10x - 16 \) для \( x \geq 2 \).

Корни этого трёхчлена: \( -x^2 + 10x - 16 = 0 \) → \( x^2 - 10x + 16 = 0 \) → \( x = 2, x = 8 \).

Таким образом, на интервале \( [2, 8] \) функция \( f(x) \) неотрицательна (от 0 до 9). На интервале \( (8, \infty) \) функция \( f(x) \) отрицательна.

Рассмотрим функцию \( f(x) = -x^2 + 4 \) для \( x < 2 \).

Корни этого трёхчлена: \( -x^2 + 4 = 0 \) → \( x^2 = 4 \) → \( x = -2, x = 2 \).

Таким образом, на интервале \( [-2, 2) \) функция \( f(x) \) неотрицательна (от 0 до 4). На интервале \( (-\infty, -2) \) функция \( f(x) \) отрицательна.

Теперь построим график \( y = |f(x)| \):

• Для \( x < -2 \): \( y = |-x^2 + 4| = x^2 - 4 \) (отражается вверх).
• Для \( -2 \leq x < 2 \): \( y = -x^2 + 4 \) (остается как есть).
• Для \( 2 \leq x \leq 8 \): \( y = -x^2 + 10x - 16 \) (остается как есть).
• Для \( x > 8 \): \( y = |-x^2 + 10x - 16| = x^2 - 10x + 16 \) (отражается вверх).

Ключевые точки графика:

• \( x = -2 \): \( y = |-(-2)^2 + 4| = 0 \).
• \( x = 0 \): \( y = |-0^2 + 4| = 4 \).
• \( x = 2 \): \( y = |5|2-2| - 2^2 + 5(2) - 6| = |0 - 4 + 10 - 6| = 0 \).
• \( x = 5 \): \( y = |5|5-2| - 5^2 + 5(5) - 6| = |5(3) - 25 + 25 - 6| = |15 - 6| = 9 \).
• \( x = 8 \): \( y = |5|8-2| - 8^2 + 5(8) - 6| = |5(6) - 64 + 40 - 6| = |30 - 64 + 40 - 6| = |70 - 70| = 0 \).

График состоит из частей парабол. Он начинается снизу (из \( y = x^2 - 4 \) для \( x < -2 \)), поднимается до точки \( (-2, 0) \), затем идет вверх до \( (0, 4) \), спускается до \( (2, 0) \), поднимается до \( (5, 9) \), спускается до \( (8, 0) \) и затем уходит вверх (из \( y = x^2 - 10x + 16 \) для \( x > 8 \)).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия.

• Если \( m < 0 \), прямая не пересекает график.
• Если \( m = 0 \), прямая пересекает график в трёх точках: \( x = -2, x = 2, x = 8 \).
• Если \( 0 < m < 4 \), прямая пересекает график в четырёх точках.
• Если \( m = 4 \), прямая пересекает график в трёх точках (одна из них — вершина \( (0, 4) \), другая — точка из \( y = x^2 - 10x + 16 \), третья — точка из \( y = x^2 - 4 \)).
• Если \( 4 < m < 9 \), прямая пересекает график в четырёх точках.
• Если \( m = 9 \), прямая пересекает график в двух точках (одна из них — вершина \( (5, 9) \), другая — точка из \( y = x^2 - 4 \)).
• Если \( m > 9 \), прямая пересекает график в двух точках.

Таким образом, прямая \( y = m \) имеет ровно три общие точки с графиком, когда \( m = 0 \) или \( m = 4 \).

Ответ: 0, 4