В1. Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая АМ, перпендикулярная плоскости BCD. Найдите рас- стояния от точки М до вершин квадрата, если ВС = 12 см и АМ = 5 см. Ответ:

Пусть ABCD - данный квадрат, где ВС = 12 см. АМ - прямая, перпендикулярная плоскости квадрата, АМ = 5 см.

Так как АМ перпендикулярна плоскости квадрата, то АМ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольники АМВ, АМС и AMD - прямоугольные, и мы можем найти расстояния МВ, МС и MD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМВ. По теореме Пифагора:

$$MB = \sqrt{AM^2 + AB^2}$$. Так как АВ = ВС = 12 см,

$$MB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. AC - диагональ квадрата. Найдем АС: $$AC = BC \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$ см. Тогда

$$MC = \sqrt{AM^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + (12\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 288} = \sqrt{313}$$ см.

Так как ABCD - квадрат, то MD = MB = 13 см.

Ответ: MB = MD = 13 см, MC = $$\sqrt{313}$$ см.