АЗ. Точка О удалена от вершин прямоугольного треуголь- ника АВС с катетами АВ = 12 см и АС = 5 см на расстояние √194 2 ABC. см. Найдите расстояние от точки О до плоскости 1) 5 см 2) 3 см 3) 4 см 4) 2,5 см

Пусть $$ABC$$ - прямоугольный треугольник, у которого $$AB=12$$ см и $$AC=5$$ см. Пусть точка $$O$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC$$ на расстояние $$\frac{\sqrt{194}}{2}$$ см.

Так как точка $$O$$ равноудалена от вершин треугольника, то основание перпендикуляра, опущенного из точки $$O$$ на плоскость треугольника, является центром описанной окружности. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы.

Найдем гипотенузу $$BC$$ по теореме Пифагора:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$

$$BC = \sqrt{169} = 13$$ см.

Пусть $$M$$ - середина $$BC$$, тогда $$BM = MC = \frac{13}{2}$$ см. Так как $$M$$ - центр описанной окружности, то $$AM = BM = CM = \frac{13}{2}$$ см.

Пусть $$O$$ - точка, равноудаленная от вершин, и $$OM$$ - перпендикуляр к плоскости $$ABC$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOM$$. В нем $$AO = \frac{\sqrt{194}}{2}$$ см и $$AM = \frac{13}{2}$$ см. Найдем $$OM$$ по теореме Пифагора:

$$OM^2 = AO^2 - AM^2 = (\frac{\sqrt{194}}{2})^2 - (\frac{13}{2})^2 = \frac{194}{4} - \frac{169}{4} = \frac{25}{4}$$

$$OM = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5$$ см.

Ответ: 4) 2,5 см