С1. Все грани параллелепипеда являются прямоугольни-ками, и диагонали граней равны √34, √61, 3/5 см. Найди-те длины ребер параллелепипеда. Ответ:

Так как все грани параллелепипеда являются прямоугольниками, то это прямоугольный параллелепипед. Пусть длины ребер равны $$a, b, c$$. Диагонали граней равны $$\sqrt{34}, \sqrt{61}, 3\sqrt{5}$$. Тогда имеем систему уравнений:

$$a^2 + b^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$$

$$b^2 + c^2 = (\sqrt{34})^2 = 34$$

$$c^2 + a^2 = (\sqrt{61})^2 = 61$$

Сложим все три уравнения:

$$2(a^2 + b^2 + c^2) = 45 + 34 + 61 = 140$$

$$a^2 + b^2 + c^2 = 70$$

Выразим $$a^2, b^2, c^2$$:

$$c^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2) = 70 - 45 = 25 \Rightarrow c = \sqrt{25} = 5$$

$$a^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (b^2 + c^2) = 70 - 34 = 36 \Rightarrow a = \sqrt{36} = 6$$

$$b^2 = (a^2 + b^2 + c^2) - (c^2 + a^2) = 70 - 61 = 9 \Rightarrow b = \sqrt{9} = 3$$

Ответ: $$a = 6$$ см, $$b = 3$$ см, $$c = 5$$ см