Уравнения: A) 3y⁺ + 2y²-5=0 B) \(\frac{4x^2}{2x^2+8x} + \frac{27}{2x^2+7x-4} = \frac{6}{2x-1}\)

Решение:

A) \( 3y^4 + 2y^2 - 5 = 0 \)

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: \( t = y^2 \), где \( t \ge 0 \).

Уравнение примет вид: \( 3t^2 + 2t - 5 = 0 \).

Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \).

Найдём корни для \( t \):

\( t_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1 \).

\( t_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \).

Так как \( t = y^2 \) и \( t \ge 0 \), то \( t_2 = -\frac{5}{3} \) не подходит.

Из \( t_1 = 1 \) следует \( y^2 = 1 \), значит \( y = 1 \) или \( y = -1 \).

B) \( \frac{4x^2}{2x^2+8x} + \frac{27}{2x^2+7x-4} = \frac{6}{2x-1} \)

Упростим первый знаменатель: \( 2x^2+8x = 2x(x+4) \).

Разложим второй знаменатель: \( 2x^2+7x-4 \). Корни: \( x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(2)(-4)}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{49+32}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-7 \pm 9}{4} \). \( x_1 = \frac{2}{4} = 0.5 \), \( x_2 = \frac{-16}{4} = -4 \). Значит, \( 2x^2+7x-4 = 2(x-0.5)(x+4) = (2x-1)(x+4) \).

Уравнение принимает вид: \( \frac{4x^2}{2x(x+4)} + \frac{27}{(2x-1)(x+4)} = \frac{6}{2x-1} \)

\( \frac{2x}{x+4} + \frac{27}{(2x-1)(x+4)} = \frac{6}{2x-1} \)

Приведём к общему знаменателю \( (x+4)(2x-1) \) (при \( x
e -4, x
e 0, x
e 0.5 \)).

\( 2x(2x-1) + 27 = 6(x+4) \)

\( 4x^2 - 2x + 27 = 6x + 24 \)

\( 4x^2 - 8x + 3 = 0 \)

Найдём дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 \).

Найдём корни для \( x \):

\( x_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = 1.5 \).

\( x_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = 0.5 \).

Корень \( x_2 = 0.5 \) не подходит, так как он обращает знаменатели в ноль.

Ответ: A) \( y = \pm 1 \), B) \( x = 1.5 \).