Методом интервалов: A) (x-5)(x+4)(x²+6x+9) ≥ 0 B) \(\frac{5}{x-1} + \frac{12}{x-2} \le 5\)

Решение:

A) \( (x-5)(x+4)(x^2+6x+9) \ge 0 \)

Заметим, что \( x^2+6x+9 = (x+3)^2 \). Квадрат любого числа неотрицателен. Если \( x = -3 \), то \( (x+3)^2 = 0 \), и всё выражение равно 0. Если \( x
e -3 \), то \( (x+3)^2 > 0 \).

Рассмотрим \( (x-5)(x+4) \ge 0 \) при \( x
e -3 \).

Корни: \( x=5 \) и \( x=-4 \).

Метод интервалов для \( (x-5)(x+4) \ge 0 \):

• Интервал \( (-\infty, -4] \): возьмём \( x=-5 \). \( (-5-5)(-5+4) = (-10)(-1) = 10 \ge 0 \). Подходит.
• Интервал \( [-4, 5] \): возьмём \( x=0 \). \( (0-5)(0+4) = (-5)(4) = -20 \not> 0 \). Не подходит.
• Интервал \( [5, \infty) \): возьмём \( x=6 \). \( (6-5)(6+4) = (1)(10) = 10 \ge 0 \). Подходит.

Учитывая \( x = -3 \) (где выражение равно 0), и тот факт, что \( (x+3)^2 \) неотрицателен, решение будет объединением интервалов \( (-\infty, -4] \) и \( [5, \infty) \), включая \( x=-3 \).

\( x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty) \).

B) \( \frac{5}{x-1} + \frac{12}{x-2} \le 5 \)

Перенесём 5 влево:

\( \frac{5}{x-1} + \frac{12}{x-2} - 5 \le 0 \)

Приведём к общему знаменателю \( (x-1)(x-2) \):

\( \frac{5(x-2) + 12(x-1) - 5(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)} \le 0 \)

\( \frac{5x - 10 + 12x - 12 - 5(x^2 - 3x + 2)}{(x-1)(x-2)} \le 0 \)

\( \frac{17x - 22 - 5x^2 + 15x - 10}{(x-1)(x-2)} \le 0 \)

\( \frac{-5x^2 + 32x - 32}{(x-1)(x-2)} \le 0 \)

Умножим числитель и знаменатель на -1, сменив знак неравенства:

\( \frac{5x^2 - 32x + 32}{(x-1)(x-2)} \ge 0 \)

Найдем корни числителя \( 5x^2 - 32x + 32 = 0 \):

\( D = (-32)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 32 = 1024 - 640 = 384 \).

\( \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6} \).

\( x = \frac{32 \pm 8\sqrt{6}}{10} = \frac{16 \pm 4\sqrt{6}}{5} \).

\( x_1 = \frac{16 - 4\sqrt{6}}{5} \approx \frac{16 - 4(2.45)}{5} = \frac{16 - 9.8}{5} = \frac{6.2}{5} = 1.24 \).

\( x_2 = \frac{16 + 4\sqrt{6}}{5} \approx \frac{16 + 9.8}{5} = \frac{25.8}{5} = 5.16 \).

Корни знаменателя: \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

Рассмотрим интервалы:

• \( (-\infty, 1) \): \( \frac{+}{(-)(-) } = + \ge 0 \). Подходит.
• \( (1, \frac{16 - 4\sqrt{6}}{5}) \): \( \frac{+}{(+)(-) } = - \not> 0 \). Не подходит.
• \( (\frac{16 - 4\sqrt{6}}{5}, 2) \): \( \frac{+}{(+)(-) } = - \not> 0 \). Не подходит.
• \( (2, \frac{16 + 4\sqrt{6}}{5}) \): \( \frac{+}{(+)(+) } = + \ge 0 \). Подходит.
• \( (\frac{16 + 4\sqrt{6}}{5}, \infty) \): \( \frac{+}{(+)(+) } = + \ge 0 \). Подходит.

Ответ: A) \( x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty) \), B) \( x \in (-\infty, 1) \cup [\frac{16 - 4\sqrt{6}}{5}, 2) \cup [\frac{16 + 4\sqrt{6}}{5}, \infty) \).