5. Упростите выражение: а) \(\frac{y^3-9y}{y+7} \cdot \frac{4y+28}{y^2+6y+9}:\frac{y^2-3y}{3+y}\); б) \(\frac{2}{x-4}+\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}\)

а) Упростим выражение: \(\frac{y^3-9y}{y+7} \cdot \frac{4y+28}{y^2+6y+9}:\frac{y^2-3y}{3+y}\)

• Разложим на множители: \(\frac{y(y^2-9)}{y+7} \cdot \frac{4(y+7)}{(y+3)^2}:\frac{y(y-3)}{y+3} = \frac{y(y-3)(y+3)}{y+7} \cdot \frac{4(y+7)}{(y+3)^2}:\frac{y(y-3)}{y+3}\)
• Заменим деление умножением на обратную дробь: \(\frac{y(y-3)(y+3)}{y+7} \cdot \frac{4(y+7)}{(y+3)^2} \cdot \frac{y+3}{y(y-3)}\)
• Сократим дроби: \(\frac{y(y-3)(y+3)}{y+7} \cdot \frac{4(y+7)}{(y+3)^2} \cdot \frac{y+3}{y(y-3)} = 4\)

Ответ: 4

б) Упростим выражение: \(\frac{2}{x-4}+\frac{x+8}{x^2-16}-\frac{1}{x}\)

• Разложим знаменатель второй дроби: \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\). Общий знаменатель: \(x(x-4)(x+4)\)
• Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{2 \cdot x(x+4)}{(x-4) \cdot x(x+4)}+\frac{(x+8) \cdot x}{(x-4)(x+4) \cdot x}-\frac{1 \cdot (x-4)(x+4)}{x \cdot (x-4)(x+4)} = \frac{2x(x+4)+x(x+8)-(x^2-16)}{x(x-4)(x+4)}\)
• Раскроем скобки в числителе: \(\frac{2x^2+8x+x^2+8x-x^2+16}{x(x-4)(x+4)} = \frac{2x^2+16x+16}{x(x-4)(x+4)}\)
• Вынесем 2 за скобки в числителе: \(\frac{2(x^2+8x+8)}{x(x-4)(x+4)}\)

Ответ: \(\frac{2(x^2+8x+8)}{x(x-4)(x+4)}\)