Упростите выражение: \( (3a - 2)(3a + 2) - (3a + 1)^2 \) и найдите его значение при \( a = \frac{1}{12} \)

Решение:

1. Раскроем скобки, используя формулы разности квадратов \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \) и квадрата суммы \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \):
   \[ (3a - 2)(3a + 2) = (3a)^2 - 2^2 = 9a^2 - 4 \]
   \[ (3a + 1)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 + 6a + 1 \]
2. Подставим полученные выражения обратно в исходное:
   \[ (9a^2 - 4) - (9a^2 + 6a + 1) \]
   Раскроем скобки:
   \[ 9a^2 - 4 - 9a^2 - 6a - 1 \]
   Приведём подобные слагаемые:
   \[ -6a - 5 \]
3. Найдем значение выражения при \( a = \frac{1}{12} \):
   \[ -6 \cdot \frac{1}{12} - 5 = -\frac{6}{12} - 5 = -\frac{1}{2} - 5 = -5.5 \]

Ответ: \( -6a - 5 \); при \( a = \frac{1}{12} \) значение выражения равно \( -5.5 \).