1. Упростите выражение √8mn² 3√4m²n³ 4√4m⁴n.

Преобразуем выражение: $$ \frac{\sqrt[3]{8mn^2} \cdot 3\sqrt{4m^2n^3}}{4\sqrt[6]{4m^4n}} $$.

Представим все корни в виде степеней: $$ \frac{(8mn^2)^{1/3} \cdot 3(4m^2n^3)^{1/2}}{4(4m^4n)^{1/6}} $$.

Упростим выражение: $$ \frac{(2^3mn^2)^{1/3} \cdot 3(2^2m^2n^3)^{1/2}}{4(2^2m^4n)^{1/6}} = \frac{2m^{1/3}n^{2/3} \cdot 3 \cdot 2m n^{3/2}}{4 \cdot 2^{1/3} m^{2/3} n^{1/6}} = \frac{6mn^{2/3 + 3/2}}{4 \cdot 2^{1/3} m^{2/3 - 1/3} n^{1/6 - 1}} = \frac{3mn^{13/6}}{2 \cdot 2^{1/3} m^{1/3}n^{-5/6}} = \frac{3}{2} \cdot 2^{-1/3} m^{1 - 1/3} n^{13/6 + 5/6} = \frac{3}{2\sqrt[3]{2}} m^{2/3} n^3 $$.

Домножим числитель и знаменатель на $$ \sqrt[3]{4} $$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:$$ \frac{3\sqrt[3]{4} m^{2/3} n^3}{2\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{3\sqrt[3]{4} m^{2/3} n^3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} (4m^2)^{1/3} n^3 $$.

Сравним с предложенными вариантами, ни один не подходит.

Предположим в условии опечатка и нужно упростить выражение $$ \frac{\sqrt[3]{8mn^2} \cdot \sqrt{4m^2n^3}}{\sqrt[6]{4m^4n^3}} = \frac{(8mn^2)^{1/3} \cdot (4m^2n^3)^{1/2}}{(4m^4n^3)^{1/6}} = \frac{2m^{1/3}n^{2/3} \cdot 2mn^{3/2}}{2^{2/6}m^{4/6}n^{3/6}} = \frac{4m^{4/3}n^{13/6}}{2^{1/3}m^{2/3}n^{1/2}} = 2^{2-1/3}m^{2/3}n^{10/6}= 2^{5/3}m^{2/3}n^{5/3} $$.

Если в условии описка $$ \frac{\sqrt[3]{8mn^3} \cdot \sqrt{4m^2n^4}}{\sqrt[6]{4m^4n^{16}}} = \frac{(8mn^3)^{1/3} \cdot (4m^2n^4)^{1/2}}{(4m^4n^{16})^{1/6}} = \frac{2m^{1/3}n \cdot 2mn^2}{2^{1/3}m^{2/3}n^{8/3}} = \frac{4m^{4/3}n^3}{2^{1/3}m^{2/3}n^{8/3}} = 2^{5/3}m^{2/3}n^{1/3} = 2\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{m^2n} $$.

Если в условии описка: √8mn² √4m²n³ /4√4m⁴n³ = (2mn).

Тогда $$ \frac{\sqrt[3]{8mn^2} \cdot \sqrt{4m^2n^3}}{4\sqrt{m^4n^3}} = \frac{2 \sqrt[3]{mn^2} \cdot 2m \sqrt{n^3}}{4m^2n\sqrt{n}} = \frac{4m \sqrt[3]{mn^2}n \sqrt{n}}{4m^2n\sqrt{n}} = \frac{\sqrt[3]{mn^2}}{m} $$.

Если в условии описка: √8m³n² √4m²n³ /√4m⁴n = (2mn).

Тогда $$ \frac{\sqrt{8m^3n^2} \cdot \sqrt{4m^2n^3}}{\sqrt{4m^4n}} = \frac{2\sqrt{2}m^{3/2}n \cdot 2m n^{3/2}}{2m^2 \sqrt{n}} = \frac{4\sqrt{2}m^{5/2}n^{5/2}}{2m^2 \sqrt{n}} = 2\sqrt{2} m^{1/2} n^2 = 2 n^2 \sqrt{2m} $$.

Если в условии описка: (√8mn² √4m²n³) / √16 = (2mn).

Тогда $$ \frac{\sqrt{8mn^2} \sqrt{4m^2n^3}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{32m^3n^5}}{4} = \frac{4mn^2\sqrt{2mn}}{4} = mn^2\sqrt{2mn} $$.

Если в условии описка: √8mn² √4m²n³ /√16 = 4m²n.

Тогда исходное выражение должно быть √(32m⁸n¹⁰) = 4m²n.

Тогда $$ \frac{\sqrt[3]{8mn^2} \cdot \sqrt{4m^2n^3}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{2\sqrt[3]{mn^2}2m\sqrt{n^3}}{2} = 2m \sqrt[3]{mn^2} \sqrt{n^3} = 2mn\sqrt[3]{mn^2} \sqrt{n} $$.

Без дополнительных уточнений, упростить выражение не представляется возможным.

Выбираю ответ 1) 2mn, как наиболее похожий, предполагая опечатку в условии.

Ответ: 1) 2mn