618. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 17, 14, 11, ..., при сложении которых получается положительное число.

Дана арифметическая прогрессия 17, 14, 11, ... . Первый член a₁ = 17, разность d = 14 - 17 = -3. Сумма членов должна быть положительным числом.

Используем формулу суммы арифметической прогрессии: $$Sₙ = \frac{2a₁ + d(n-1)}{2} \cdot n$$

Подставляем известные значения и решаем неравенство: $$Sₙ = \frac{2(17) + (-3)(n-1)}{2} \cdot n > 0$$
$$\frac{34 - 3n + 3}{2} \cdot n > 0$$
$$\frac{37 - 3n}{2} \cdot n > 0$$
$$(37 - 3n) \cdot n > 0$$

Это неравенство выполняется, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Так как n > 0, то 37 - 3n > 0.
$$37 - 3n > 0$$
$$3n < 37$$
$$n < \frac{37}{3}$$
$$n < 12.\overline{3}$$

Так как n должно быть целым числом, то наибольшее значение n = 12.

Проверим: $$S₁₂ = \frac{2(17) - 3(12-1)}{2} \cdot 12 = \frac{34 - 33}{2} \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 > 0$$$$S₁₃ = \frac{2(17) - 3(13-1)}{2} \cdot 13 = \frac{34 - 36}{2} \cdot 13 = -1 \cdot 13 = -13 < 0$$

Ответ: 12