616. Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду 1 шар, во втором – 2, в третьем – 3 и т. д. (рис. 77). Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Сколько потребуется шаров, чтобы составить треугольник из 30 рядов?

Число шаров в каждом ряду образует арифметическую прогрессию, где a₁ = 1, d = 1.

1. Найдем количество рядов n, если общее число шаров равно 120. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $$Sₙ = \frac{2a₁ + d(n-1)}{2} \cdot n$$
   $$120 = \frac{2(1) + 1(n-1)}{2} \cdot n$$
   $$240 = (2 + n - 1) \cdot n$$
   $$240 = (n + 1) \cdot n$$
   $$n² + n - 240 = 0$$
   Решим квадратное уравнение. Корни уравнения: n₁ = 15, n₂ = -16 (не подходит, так как количество рядов не может быть отрицательным).
2. Найдем количество шаров, необходимых для составления треугольника из 30 рядов:
   $$S₃₀ = \frac{2(1) + 1(30-1)}{2} \cdot 30$$
   $$S₃₀ = \frac{2 + 29}{2} \cdot 30$$
   $$S₃₀ = \frac{31}{2} \cdot 30$$
   $$S₃₀ = 31 \cdot 15$$
   $$S₃₀ = 465$$

Ответ: 15 рядов; 465 шаров