5. Tun 13 № 1575 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса АМ. Угол АМВ равен 69". Найдите угол при осно вании этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AM. Угол AMB равен 69°. Найдите угол при основании этого треугольника.

Решение:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы BAC и BCA равны.
2. Так как AM — биссектриса угла BAC, то углы BAM и MAC равны.
3. Сумма углов треугольника ABM равна 180°. Следовательно, угол ABM = 180° - угол BAM - угол AMB.
4. Угол AMB = 69°, тогда угол BMA смежный с углом AMB, значит, угол BMA = 180° - 69° = 111°.
5. Сумма углов треугольника AMC равна 180°. Следовательно, угол ACM = 180° - угол AMC - угол MAC.
6. Угол BAC = углу BCA, следовательно угол BAM = углу ACM.
7. Так как угол AMB = 69°, то угол ABM = 180 - 69 - (180 - 69)/2 = 180 - 69 - 55,5 = 55,5.
8. Так как AM — биссектриса, то угол BAC = 2 * (180 - 69)/2 = 180 - 69 = 111°.
9. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC = углу BCA = (180 - 69)/2 = 180 - 69 = 111°.
10. Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы BAC и BCA равны. Следовательно, углы при основании AC равны (180 - угол B) / 2 = (180 - 111) / 2 = 69 / 2 = 34,5°.
11. Угол B равен 180 - угол AMB - угол BAM = 180 - 69 - x = 111 - x. С другой стороны, треугольник ABC равнобедренный, угол A = угол C = (180 - угол B) / 2. Угол BAC = угол BAM + угол MAC. Получаем уравнение: x + x = (180 - (111 - x)) / 2. 2x = (69 + x) / 2. 4x = 69 + x. 3x = 69. x = 23.
12. Угол ABM = 180 - 69 - 23 = 88°.
13. Сумма углов треугольника равна 180°. Тогда угол BAC = углу BCA = (180 - 88) / 2 = 46°.

Ответ: 46