4. Треугольник DGH – равнобедренный. Определите ∠2, если ∠1 = 67°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, ∠G = ∠H.

∠1 является внешним углом при вершине G, поэтому ∠1 = ∠H + ∠D.

Так как ∠G = ∠H, то ∠1 = ∠G + ∠D.

По условию, ∠1 = 67°, следовательно, ∠G + ∠D = 67°.

Сумма углов в треугольнике DGH равна 180°, то есть ∠D + ∠G + ∠H = 180°.

Так как ∠G = ∠H, то ∠D + 2∠G = 180°.

Выразим ∠D через ∠1: ∠D = 67° - ∠G. Подставим это выражение в уравнение ∠D + 2∠G = 180°:

(67° - ∠G) + 2∠G = 180°

67° + ∠G = 180°

∠G = 180° - 67°

∠G = 113°.

∠H = ∠G = 113°.

Теперь найдем ∠D: ∠D = 180° - ∠G - ∠H = 180° - 113° - 113° = -46°.

Угол не может быть отрицательным, следовательно, есть ошибка в рассуждениях.

Угол ∠1 - внешний угол при вершине G, следовательно, ∠1 = ∠D + ∠H.

Тогда, ∠H = ∠1 - ∠D.

Т.к. треугольник DGH равнобедренный, то ∠G = ∠H.

∠D + ∠G + ∠H = 180°.

∠D + 2∠H = 180°.

∠D + 2(∠1 - ∠D) = 180°.

∠D + 2(67° - ∠D) = 180°.

∠D + 134° - 2∠D = 180°.

-∠D = 180° - 134°.

-∠D = 46°.

∠D = -46° - ошибка.

В равнобедренном треугольнике DGH DG=GH, значит углы ∠D и ∠H равны.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠G=180-∠1=180-67=113°.

∠D=∠H=(180-113)/2=67/2=33.5°.

∠2=∠H=33.5°.

Ответ: ∠2 = 33.5°.