118 Точки Мир лежат по одну сторону от пря- мой 6. Перпендикуляры MN и РQ, прове- дённые к прямой в, равны. Точка О - сере- дина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP= ∠OPM; 6) найдите NOM, если ∠MOP = 105°.

а) Доказательство:

Рассмотрим треугольники MNO и PQO:

MN = PQ (по условию);

∠MNO = ∠PQO = 90° (MN и PQ - перпендикуляры к прямой b);

NO = QO (O - середина NQ).

Следовательно, ΔMNO = ΔPQO по двум катетам.

Из равенства треугольников следует, что MO = PO, то есть ΔMOP - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠OMP = ∠OPM.

б) В ΔMOP ∠OMP = ∠OPM = (180° - ∠MOP) / 2 = (180° - 105°) / 2 = 75° / 2 = 37,5°

∠ONM = 90° (по условию)

∠ONM = ∠ONM - ∠OMP = 90° - 37,5° = 52,5°

Рассмотрим ΔMNO и PQO, они равны, следовательно, ∠NOM = ∠QOP, то есть ∠NOM = 52,5°.

Ответ: ∠NOM = 52,5°