120 Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух дру- гих углов.

Дано: ∆ABC, AM - медиана, AM = BM.

Доказать: один из углов ∆ABC равен сумме двух других углов.

Доказательство:

Так как AM - медиана, то BM = MC. По условию AM = BM, следовательно, AM = BM = MC. Пусть AM = BM = MC = a.

Рассмотрим ∆ABM. Так как AM = BM, то ∆ABM - равнобедренный, и ∠BAM = ∠ABM. Обозначим эти углы как α.

Рассмотрим ∆AMC. Так как AM = MC, то ∆AMC - равнобедренный, и ∠MAC = ∠ACM. Обозначим эти углы как β.

∠BAC = ∠BAM + ∠MAC = α + β.

∠BMC - внешний угол ∆ABM, поэтому ∠BMC = ∠BAM + ∠ABM = α + α = 2α.

В ∆AMC: ∠AMC = 180° - 2α. Так как ∠AMB + ∠AMC = 180°, то ∠AMB = 180° - ∠AMC = 180° - (180° - 2α) = 2α.

В ∆ABC сумма углов равна 180°: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.

Подставим известные углы: (α + β) + α + β = 180°.

2α + 2β = 180°.

α + β = 90°.

Таким образом, ∠BAC = α + β = 90°.

Следовательно, ∠BAC = ∠ABC + ∠ACB.

Ответ: ∠BAC = ∠ABC + ∠ACB