118 Точки Миг лемах мой в. Перпендикуляры ММ и PQ, прове- дённые к прямой ь, равны. Точка О - сере- дина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP= ∠OPM; б) найдите NOM, если ДМОР = 105°.

а) Рассмотрим треугольники $$MNO$$ и $$PQO$$.

По условию $$MN \perp b$$, $$PQ \perp b$$, следовательно, $$\angle MNO = \angle PQO = 90^\circ$$.

Так как $$O$$ - середина $$NQ$$, то $$NO = QO$$.

По условию $$MN = PQ$$.

Тогда $$\triangle MNO = \triangle PQO$$ по двум катетам.

Следовательно, $$\angle NMO = \angle QPO$$.

$$\triangle MOP$$ - равнобедренный, так как $$MO = PO$$ (из равенства треугольников $$MNO$$ и $$PQO$$).

Следовательно, $$\angle OMP = \angle OPM$$ как углы при основании равнобедренного треугольника.

б) Так как $$\triangle MOP$$ - равнобедренный, то $$\angle OMP = \angle OPM$$.

$$\angle MOP = 105^\circ$$.

$$\angle OMP = \angle OPM = \frac{180^\circ - 105^\circ}{2} = \frac{75^\circ}{2} = 37.5^\circ$$.

$$\triangle MNO = \triangle PQO$$, следовательно, $$\angle NOM = \angle QOP$$.

$$\angle NOM = 90^\circ - \angle NMO = 90^\circ - 37.5^\circ = 52.5^\circ$$.

Ответ: а) доказано, б) $$52.5^\circ$$