54 Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р – середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно. а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см³.

а) Докажем, что плоскости MNP и ADC параллельны.

Поскольку M и N - середины отрезков BA и BC соответственно, то MN является средней линией треугольника ABC. Следовательно, MN || AC.

Аналогично, NP является средней линией треугольника BCD, поэтому NP || CD.

Таким образом, две пересекающиеся прямые MN и NP в плоскости MNP параллельны двум пересекающимся прямым AC и CD в плоскости ADC. Следовательно, плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Найдем площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см².

Поскольку MN - средняя линия треугольника ABC, то MN = 1/2 AC. Аналогично, NP = 1/2 CD. Кроме того, угол между прямыми MN и NP равен углу между прямыми AC и CD, так как MN || AC и NP || CD.

Площадь треугольника MNP равна:

$$S_{MNP} = \frac{1}{2} MN \cdot NP \cdot sin(\angle MNP) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}AC) (\frac{1}{2}CD) sin(\angle ADC) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} AC \cdot CD \cdot sin(\angle ADC)) = \frac{1}{4} S_{ADC}$$

Так как площадь треугольника ADC равна 48 см², то площадь треугольника MNP равна:

$$S_{MNP} = \frac{1}{4} \cdot 48 \text{ см}^2 = 12 \text{ см}^2$$

Ответ: а) Плоскости MNP и ADC параллельны. б) Площадь треугольника MNP равна 12 см².