53 Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, име ют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 па- раллельны.

Доказательство:

Пусть O - общая середина отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂. Рассмотрим векторы:

• $$\vec{A_2B_2} = \vec{A_2O} + \vec{OB_2}$$
• $$\vec{A_1B_1} = \vec{A_1O} + \vec{OB_1}$$

Так как O - середина отрезков A₁A₂ и B₁B₂, то $$\vec{A_1O} = -\vec{A_2O}$$ и $$\vec{OB_1} = -\vec{OB_2}$$. Следовательно, $$\vec{A_1B_1} = -(\vec{A_2O} + \vec{OB_2}) = -\vec{A_2B_2}$$, то есть $$\vec{A_1B_1} \parallel \vec{A_2B_2}$$.

Аналогично доказывается, что $$\vec{B_1C_1} \parallel \vec{B_2C_2}$$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые A₁B₁ и B₁C₁ плоскости A₁B₁C₁ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым A₂B₂ и B₂C₂ плоскости A₂B₂C₂. Следовательно, плоскости A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ параллельны.

Ответ: Плоскости A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ параллельны.