Точка М – середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если R = 50 см, АВ = 40 см; б) ОМ, если R=15 мм, АВ = 18 мм; в) АВ, если R=10 дм, ОМ = 60 см; г) АМ, если R = a, OM = b.

Ответ: а) 30 см; б) 12 мм; в) 8 дм; г) \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

а) Дано: R = 50 см, АВ = 40 см. M - середина АВ. Найти ОМ.

Решение:

1. Т.к. М - середина АВ, то AM = MB = \(\frac{AB}{2}\) = \(\frac{40}{2}\) = 20 см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OMA\), где ОА = R = 50 см - гипотенуза, AM = 20 см - катет, ОМ - катет.
3. По теореме Пифагора \(OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{50^2 - 20^2} = \sqrt{2500 - 400} = \sqrt{2100} = 10\sqrt{21}\) см \(\approx 45.83\) см.

Ответ: \(10\sqrt{21}\) см

б) Дано: R = 15 мм, АВ = 18 мм. M - середина АВ. Найти ОМ.

Решение:

1. Т.к. М - середина АВ, то AM = MB = \(\frac{AB}{2}\) = \(\frac{18}{2}\) = 9 мм.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OMA\), где ОА = R = 15 мм - гипотенуза, AM = 9 мм - катет, ОМ - катет.
3. По теореме Пифагора \(OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\) мм.

Ответ: 12 мм.

в) Дано: R = 10 дм, ОМ = 60 см = 6 дм. М - середина АВ. Найти АВ.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OMA\), где ОА = R = 10 дм - гипотенуза, ОМ = 6 дм - катет, AM - катет.
2. По теореме Пифагора \(AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\) дм.
3. Т.к. М - середина АВ, то АВ = 2 * AM = 2 * 8 = 16 дм.

Ответ: 16 дм.

г) Дано: R = a, ОМ = b. М - середина АВ. Найти АМ.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OMA\), где ОА = R = a - гипотенуза, ОМ = b - катет, AM - катет.
2. По теореме Пифагора \(AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{a^2 - b^2}\)

Т.к. М - середина АВ, то AM = \(\sqrt{a^2 - b^2}\)

Ответ: \(\sqrt{a^2 - b^2}\)

Ответ: а) \(10\sqrt{21}\) см; б) 12 мм; в) 16 дм; г) \(\sqrt{a^2 - b^2}\)