13 Тип 3 № 278 i Найдите значение выражения √12cos²(5π/12) - √3.

Решение:

Преобразуем выражение, используя формулу понижения степени для косинуса: cos²(x) = (1 + cos(2x))/2.

Шаг 1: Применим формулу понижения степени:

\[\sqrt{12}\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right) - \sqrt{3} = \sqrt{12} \cdot \frac{1 + \cos\left(2 \cdot \frac{5\pi}{12}\right)}{2} - \sqrt{3}\]

Шаг 2: Упростим аргумент косинуса:

\[\sqrt{12} \cdot \frac{1 + \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{2} - \sqrt{3}\]

Шаг 3: Вспомним значение cos(5π/6):

\[\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Шаг 4: Подставим значение косинуса в выражение:

\[\sqrt{12} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} - \sqrt{3}\]

Шаг 5: Распределим и упростим:

\[\sqrt{3} \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \sqrt{3} = \sqrt{3} - \frac{3}{2} - \sqrt{3} = -\frac{3}{2}\]

Ответ: -1.5