489. Тело, брошенное вертикально вверх, дважды проходит через точку, находящуюся на высоте h = 15 м. Промежуток времени между этими моментами составляет ∆t = 2,0 с. Определите модуль начальной скорости и полное время полета тела.

Пусть $$t_1$$ и $$t_2$$ — моменты времени, когда тело находится на высоте h=15 м. Тогда $$\Delta t = t_2 - t_1 = 2$$ c.

Уравнение движения тела:

$$h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$$

где $$v_0$$ — начальная скорость тела, $$g$$ — ускорение свободного падения (приблизительно 9,8 м/с²).

Так как тело дважды проходит через высоту h=15 м, уравнение для моментов времени $$t_1$$ и $$t_2$$ выглядит так:

$$15 = v_0 t_1 - \frac{gt_1^2}{2}$$

$$15 = v_0 t_2 - \frac{gt_2^2}{2}$$

Вычитая одно уравнение из другого, получим:

$$0 = v_0 (t_2 - t_1) - \frac{g}{2} (t_2^2 - t_1^2)$$

$$0 = v_0 \Delta t - \frac{g}{2} (t_2 - t_1)(t_2 + t_1)$$

$$0 = v_0 \Delta t - \frac{g}{2} \Delta t (t_2 + t_1)$$

$$v_0 = \frac{g}{2} (t_2 + t_1)$$

Полное время полета тела $$T$$ равно удвоенному времени подъема до максимальной высоты, а время подъема до максимальной высоты равно $$v_0/g$$. Таким образом:

$$T = \frac{2v_0}{g}$$

С другой стороны, среднее время $$t_{\text{ср}} = (t_1 + t_2) / 2$$ соответствует времени, когда тело находится на максимальной высоте. Значит,

$$t_{\text{ср}} = \frac{v_0}{g}$$

$$v_0 = \frac{g}{2} (t_1 + t_2) = \frac{g}{2} 2 t_{\text{ср}} = g t_{\text{ср}}$$

Но $$v_0 = \frac{g}{2}(t_1 + t_2) = \frac{9.8}{2}(t_1 + t_2)$$, значит $$t_1 + t_2 = \frac{2v_0}{g}$$. Подставляя это в первое уравнение:

$$15 = v_0 t_1 - \frac{g t_1^2}{2}$$, $$15 = v_0 (\frac{2v_0}{g} - t_2) - \frac{g}{2} (\frac{2v_0}{g} - t_2)^2$$

$$t_2 = t_1 + 2$$

Используя то, что $$\Delta t = t_2 - t_1 = 2$$ c, имеем:

$$v_0 = \frac{g}{2} (t_1 + t_1 + 2) = g(t_1 + 1)$$

Подставим найденное значение $$v_0$$ в выражение для высоты в момент времени $$t_1$$:

$$15 = g(t_1 + 1)t_1 - \frac{g t_1^2}{2}$$

$$15 = g t_1^2 + g t_1 - \frac{g t_1^2}{2}$$

$$15 = \frac{g t_1^2}{2} + g t_1$$

$$30 = 9.8 t_1^2 + 19.6 t_1$$

$$0 = 9.8 t_1^2 + 19.6 t_1 - 30$$

Решаем квадратное уравнение:

$$t_1 = \frac{-19.6 \pm \sqrt{(19.6)^2 - 4 \cdot 9.8 \cdot (-30)}}{2 \cdot 9.8} = \frac{-19.6 \pm \sqrt{384.16 + 1176}}{19.6} = \frac{-19.6 \pm \sqrt{1560.16}}{19.6} = \frac{-19.6 \pm 39.5}{19.6}$$

Берем положительное решение:

$$t_1 = \frac{19.9}{19.6} = 1.0153$$

Тогда $$v_0 = 9.8 (1.0153 + 1) = 9.8 \cdot 2.0153 \approx 19.75 \text{ м/с}$$

Полное время полета: $$T = \frac{2v_0}{g} = \frac{2 \cdot 19.75}{9.8} \approx 4.03 \text{ с}$$

Ответ: 19.75 м/с, 4.03 с