490. С какой высоты падала сосулька без начальной скорости, если путь, пройденный ею за последнюю секунду движения, в п = 5,0 раза больше пути, пройденного за первую секунду?

Пусть $$t$$ - полное время падения сосульки. Тогда путь, пройденный за время $$t$$:

$$S = \frac{gt^2}{2}$$

Путь, пройденный за время $$(t-1)$$:

$$S_{t-1} = \frac{g(t-1)^2}{2}$$

Путь, пройденный за последнюю секунду:

$$\Delta S = S - S_{t-1} = \frac{gt^2}{2} - \frac{g(t-1)^2}{2} = \frac{g}{2}(t^2 - (t^2 - 2t + 1)) = \frac{g}{2}(2t - 1)$$

Путь, пройденный за первую секунду:

$$S_1 = \frac{g(1)^2}{2} = \frac{g}{2}$$

По условию задачи, путь за последнюю секунду в 5 раз больше пути за первую секунду:

$$\Delta S = 5 S_1$$

$$\frac{g}{2}(2t - 1) = 5 \frac{g}{2}$$

$$2t - 1 = 5$$

$$2t = 6$$

$$t = 3 \text{ с}$$

Тогда высота, с которой падала сосулька:

$$S = \frac{gt^2}{2} = \frac{9.8 (3)^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 9}{2} = 4.9 \cdot 9 = 44.1 \text{ м}$$

Ответ: 44.1 м