Существует ли выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 135°; б)144°; в) 130°

Решение:

Для выпуклого n-угольника каждый угол равен \( \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} \). Также, сумма углов равна \( (n-2) \cdot 180^{\circ} \). Если каждый угол равен \( \alpha \), то \( n \cdot \alpha = (n-2) \cdot 180^{\circ} \).

1. а) 135°
   \( n \cdot 135^{\circ} = (n-2) \cdot 180^{\circ} \)
   \( 135n = 180n - 360 \)
   \( 180n - 135n = 360 \)
   \( 45n = 360 \)
   \( n = \frac{360}{45} = 8 \).
   Так как \( n=8 \) — целое число больше 3, такой многоугольник существует (восьмиугольник).
2. б) 144°
   \( n \cdot 144^{\circ} = (n-2) \cdot 180^{\circ} \)
   \( 144n = 180n - 360 \)
   \( 180n - 144n = 360 \)
   \( 36n = 360 \)
   \( n = \frac{360}{36} = 10 \).
   Так как \( n=10 \) — целое число больше 3, такой многоугольник существует (десятиугольник).
3. в) 130°
   \( n \cdot 130^{\circ} = (n-2) \cdot 180^{\circ} \)
   \( 130n = 180n - 360 \)
   \( 180n - 130n = 360 \)
   \( 50n = 360 \)
   \( n = \frac{360}{50} = \frac{36}{5} = 7.2 \).
   Так как \( n=7.2 \) — не целое число, такого многоугольника не существует.

Ответ: а) существует (восьмиугольник); б) существует (десятиугольник); в) не существует.